Symulator kodera dla kodu cyklicznego BCH

Ź

Strona głowna projektu
Podstawowe definicje
Kod BCH -wstep
Wyznaczanie wielomianu generacyjnego
Algorytm kodowania
Algorytm dekodowania
Matematyka w kodowaniu BCH
Symulacjia krokowa
Symulacjia automatyczna

Wyznaczanie wielomianu generującego

Skończone ciało proste Galois Field jest ciałem binarnym i jest wytwarzane poprzez mnożenie wielomianowe.

Niech:
- jest elementem pierwotnym ciała
- - zbiór ciągów kodowych kodu BCH
- - elementy ciała, które są pierwiastkami dowolnie wybranego wielomianu f(x)
- m(x) - są to wielomiany (funkcje) minimalne

Przy wyznaczaniu wielomianu generującego kod BCH rozpatruje się tylko elementy ciała o wykładnikach nieparzystych, gdyż nie ma potrzeby robienia tego dla elementów o wykładnikach parzystych (udowodnione jest, iż elementy ciała o wykładnikach parzystych, mają funkcje minimalne, które są identyczne jak funkcje minimalne pewnych elementów ciała o nieparzystych wykładnikach, np. jest pierwiastkiem itd.)

Wielomian generujący kod BCH g(x) o zdolności korekcyjnej t jest najmniejszą wspólną wielokrotnością funkcji minimalnych


Przykład -wyznaczenie wielomianu generującego:

1) Kod BCH korygujący błędy trzykrotne (15,5)
kod (15,5) = (n,k); m=4 czyli ; t=3
gdzie:
n - długość słowa kodowego;
k - długość ciągu informacyjnego;
m - stopień wielomianu pierwotnego;
t - ilość korygowanych błędów;

Korzystając z Tabeli 1 dla m=4 można wybrać wielomian p(x)=10011, który odpowiada . Dla ciała generowanego przez mamy tabelę:



gdzie Lp. to potęga ;


- mnożenie wielomianowe;

Minimalne wielomiany z pierwiastkami x = α, x = α3 i x = α5 w to:







Z tych minimalnych wielomianów po mnożeniu wielomianowym otrzymujemy wielomian generujący:



Ponieważ stopień wielomianu g(x) to 10, a liczba pozycji informacyjnych kodu jest równa liczbie jaką stanowi stopień wielomianu, więc k=10; odległość minimalna tego kodu jest d=7 czyli kod wykrywa 7 błędów, z których może skorygować 3 błędy (t=3).


2) Kod BCH korygujący błędy dwukrotne (15,7)
kod (15,7); m=4 czyli; t=2

Analogicznie jak w przykładzie powyżej:



Po wymnożeniu wielomianów otrzymujemy:

Stopień wielomianu g(x) to 8, czyli liczba pozycji informacyjnych kodu to k=8; ilość wykrywanych błędów (minimalna odległość kodu) jest równa 5, ilość błędów korygowanych t=2.

Jeżeli rozpatrywalibyśmy inne przypadki to np. dla



Z pomocą tych wielomianów generujących g(x), a także działaniu dzielenia wielomianów można przeprowadzić kodowanie zgodnie z instrukcją kodowania BCH.

Copyright © Jezikk 2004